Teorema Aljabar Boolean

Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika (AND, OR dan NOT) dan teori himpunan untuk operasi union, intersection, dan complement. Penamaan Aljabar Boolean berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.

Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai yaitu true dan false (benar dan salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true dan  false dapat digantikan dengan logic 1 dan logic 0. Aljabar Boolean merupakan alat matematis yang dapat digunakan untuk menganalisa suatu rangkaian logika melalui metode-metode penyederhanaan yang dilakukan.

Untuk lebih memahami operasi-operasi logika Boolean sebaiknya terlebih dahulu dipahami karakteristik yang berlaku pada gerbang-gerbang digital dasar seperti gerbang AND, gerbang OR, gerbang NOT, gerbang EX-OR, gerbang NAND, gerbang, NOR, dan gerbang EX-NOR. Karakteristik dari setiap gerbang digital dasar tersebut dapat dilihat melalui tabel kebenaran gerbang logika dasar.

DASAR-DASAR ALJABAR BOOLEAN
Pengembangan Aljabar Boolean dimulai dari asumsi-asumsi Postulat Boolean dan Teorema Aljabar Boolean.

A. Postulat Boolean
Diturunkan dari fungsi AND Gate, OR Gate, dan NOT Gate.
  1. Turunan dari fungsi AND Gate (Gerbang AND): Jika salah satu input ber-logic 0 maka output akan 0.
  2. Turunan dari fungsi OR Gate (Gerbang OR) : Jika salah satu input ber-logic 1 maka output akan 1.
  3. Turunan dari fungsi NOT Gate (Gerbang NOT) : Output akan merupakan kebalikan dari input.
Postulat Boolean

B. Teorema Aljabar Boolean
  1. Hukum Commutative (T1)
    a. A + B = B + A
    b. A . B = B . A

  2. Hukum Assosiative (T2)
    a. (A + B) + C = A + (B + C)
    b. (A . B) . C = A . (B . C)

  3. Hukum Distributive (T3)
    a. A . (B + C) = A.B + A.C
    b. A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

  4. Hukum Identity (T4)
    a. A + A = A
    b A . A = A

  5. Hukum Negation (T5)
    a. (A') = A'
    b. (A'') = A

  6. Hukum Redudance (T6)
    a. A + A.B = A

    Pembuktian:
    A   BA . BA + A.B
    0    0
    0
    0
    0    1
    0
    0
    1    0
    1
    1
    1    1
    1
    1

    b. A. (A + B) = A

  7. T7
    a. 0 + A = A
    b. 1 + A = 1
    c. 0 . A = 0
    d. 1 . A = A

  8. T8
    a. A + A' = 1
    b. A . A' = 0

  9. T9
    a. A + A' . B = A + B

    Pembuktian:
    A   BA' . BA + A'.B A + B
    0    0
    0
    0
    0
    0    1
    1
    1
    1
    1    0
    0
    1
    1
    1    1
    0
    1
    1

    b. A. (A' + B) = A . B

  10. Teorema Van De Morgan
    a. (A + B)' = A' . B'
    b. (A . B)' = A' + B'
Bentuk penulisan lain dari NOT:
NOT Gate
Gerbang NOT

Referesi :http://lecturer.eepis-its.edu