Thursday, November 22, 2012

Penyederhanaan Fungsi Boolean Dengan Aljabar

Penyederhanaan suatu fungsi Boolean dapat dilakukan dengan bebarapa cara di antaranya dengan metode penyederhanaan Aljabar yaitu berdasarkan hukum atau Teorema Aljabar Boolean. (silakan baca di posting sebelumnya!).

Istilah-istilah yang perlu diketahui sebelum melakukan penyederhanaan fungsi Boolean:
  1. Proposisi (dalil), yaitu pernyataan yang mungkin bisa Benar atau Salah (True atau False). Contoh: "Anda Belajar Aljabar Boolean" --> True, 5<3 --> False. Pertanyaan dan eklamasi tidak termasuk proposisi. Contoh: "Dimana Anda Kulia?" --> bukan proposisi karena mempunyai banyak jawaban dan tidak menghasilkan True dan False.
  2. Negasi (sangkalan). Contoh: Jika X' adalah negasi dari X maka jika X="Saya sedang menulis" maka X'="Saya sedang tidak menulis" demikian juga sebaliknya. Negasi dari X ditulis X' atau dengan tanda garis di atas huruf X.
  3. Predikat, hampir sama denga proposisi tetapi belum bisa menghasilkan True dan False karena nilai variabel belum dispesifikasikan. Contoh: X>8, pernyataan tersebut dapat menghasilkan True jika X bernilai lebih dari 8 (8, 9, 10, 11,...) dan dan akan bernilai False jika X bernilai kurang dari atau sama dengan 8 (8, 7, 6, 5, ...).
  4. Operasi Boolean, yaitu operasi yang telah ditetapkan terhadap data misalnya penjumlahan 6+7 adalah operasi matematika.
  5. Operand, yaitu data-data yang dikenakan suatu operasi. Pada penjumlahan 6+7, angka 6 dan angka 7 adalah operand. Proposisi dan predikat akan menjadi operand dalam operasi logika. Contoh:
    p(x) adalah predikat yang mewakili x>8, q(y) adalah predikat yang mewakili y=7, p(x) OR q(y) adalah operasi logika dimana p(x) dan q(y) adalah operand dan "OR" adalah operator logika.
  6. Operator, yaitu tanda atau simbol dari suatu operasi. Pada penjumlahan 6+7, tanda plus (+) adalah operator.
Penyederhanaan Boolean akan selalu berhubungan dengan:
  1. Operator AND untuk menyatakan perkalian yang ditulis dengan titik (.), contoh A.B, X.Y, P.Q 
  2. Operator OR untuk menyatakan penjumlahan yang ditulis dengan tanda plus (+), contoh A+B, X+Y, P+Q
  3. NOT (Negasi) yang ditulis dengan tanda kutip tunggal (') atau tanda garis di atas, contoh A', B', C'.
Semua operator tersebut nantinya akan dipakai untuk menyederhanakan bilangan biner yang diwakili  oleh variabel tertentu. Tanda titik yang mewakili perkalian dapat dihilangkan kecuali ada penekanan, contoh A.B sama dengan AB, X.Y sama dengan XY, tetapi A.0 akan tetap ditulis A.0.

Contoh-contoh penyederhanaan fungsi Boolean.
  1. F = A + A'B
       = (A+A') (A+B)         {Hukum Distributif T3}
       = 1 (A+B)                 {Hukum T7}
       = A+B

       atau langsung dengan hukum T9

  2. F = A'B'C + A'BC + AB'
       = A'C (B'+B) + AB'    {Hukum Distributif T3 dan T8}
       = A'C (1) + AB'         {Hukum T7}
       = A'C + AB'
       
  3. F = ABCD + ABCD'  
       = ABC (D+D')          {Hukum Distributif T3 dan T8}
       = ABC (1)                {Hukum T7}
       
    = ABC

  4. F = ABC'D' + ABC'D + ABCD + ABCD'
       = ABC' (D'+D) + ABC (D+D')    {Hukum Distributif T3 dan T8}
      
    = ABC' (1) + ABC (1)                {Hukum T7}
       = ABC' + ABC
       = AB (C'+C)                              {Hukum Distributif T3 dan T8}
       = AB (1)                                    {Hukum T7}
       = AB

  5. F = X (XY+Z)    
       = X.XY + XZ      {Hukum T3}
       = XY + XZ         {Hukum T4}
       = X (Y+Z)          {Hukum T3}
       
  6. F = X + XY '+ X'Y
       = X (1+Y') + X'Y    {Hukum T3}
       = X (1) + X'Y         {Hukum T7}
       = X + X'Y              {Hukum T9}
       = X + Y

  7. F = X'Y' + XY' + XY
       = X'Y' + X (Y'+Y)            {Hukum T3}
       = X'Y + X (1)                  {Hukum T7}
       = X'Y + X atau X + X'Y   {Hukum T9}
       = X + Y
Kode berwarna merah di dalam kurung kurawal artinya "bantu dengan" atau "pecahkan dengan" hukum yang ditulis dengan T1, T2, T3, dan seterusnya. Lebih lengkapnya dapat dilihat di Teorema Aljabar Boolean.
Semoga bermanfaat.